역행렬 구하기(크라메르 법)

 

참고 : 0차 행렬의 det(A)는 1

1차행렬의 det(A)는 자기자신

 

2차 정사각 행렬 A

 

에 대하여, 역행렬   이 존재할 조건은 ( 가역행렬일 조건은 )

 이었음을 기억하자

또한 이때 A에 대한 은 다음과 같다.

 

이를 이용해

A를 2차보다 큰 차수의 행렬로 확장하였을 때 역행렬을 구하는 방법은 다음과 같다.

 

풀어서 보자

 

귀납적 방법을 사용한다.

n 차 정사각 행렬에 대하여

 

정사각행렬 A의 i행과 j열을 제외하고 이루어진 부분행렬의 행렬식을

  라고 쓰고 A의 성분 의 소행렬식( Minor of Entry )이라고 한다.

 

예를 들어 3차행렬 A의 성분 의 소행렬식은

이며

n차 행렬에 대한 행렬 A의 소행렬식은 아래에서 나오는  와 귀납적인 방법으로 구할 수 있다.

아직 n차 행렬에 대한에 대해 설명하지 않았지만 그래도 보자면

 

n차 행렬의 M11 은 m11 을 제외한 부분행렬의 determinant이며 해당 부분행렬이 2차행렬이 아니면

M11의 부분행렬의 determinant 값을 구한다.

부분행렬이 2차행렬일때 까지 계속 해당 행렬의 부분행렬의 determinant 를 구하게 되고 마침내 2차행렬을 만나게 되면

그곳에서 부터 determinant 를 얻게 될 것이다.

 

 

소행렬식과 행렬의 위치를 이용하여 다음과같은 연산을 할수 있다.

이것을

라고 쓰고 A의 성분 의 여인수( Cofactor of Entry ) 라고 한다.

정의에서 보이는 바와 같이  성분 의 소행렬식와 여인수는 부호만 서로 다른것에 지나지 않는다.

( 참고로 이 모습을 그림으로 나타내면 체커판이 완성된다.

)

 

 

소행렬식과 여인수에 의한 3*3 행렬식은 다음과 같이 정의할 수 있다.

이 방정식은 A의 첫째 행에 있는 각 성분에 각각의 여인수를 곱하고 그것들을 합치고있다.

이것은 다음과 같이도 정의할 수 있다.

꼭 첫 번째 행이 아니어도 같은 값이 나온다.

다른항으로도 위의 식처럼 풀어서 써보면 결국 같은 값을 얻는 다는 것을 알 수 있을 것이다.

 

이와같은 방식으로 를 계산하는 방법을

 A의 n번쨰 행(또는 열) 에 대한 여인수 전개 (Cofactor Expansion) 라고 한다.

 

n*n 행렬 A 의 행렬식은 어느 하나의 행(또는 열) 의 성분과 그 성분의 여인수를 곱한것들을 모두 더한 것 과 같다.

임의의 i , j 에 대해

(단, )

( j 열에 의한 여인수 전개 )

( i 행에 의한 여인수 전개 )

 

참고로

어떤 한 행의 각 성분에

다른 한 행의 성분에 해당하는 여인수를 곱하여

이들을 합치면 항상 0 으로 된다. ( 열도 마찬가지, 증명 ㄴ )

 

n*n 행렬 A 의 성분 의 여인수를  라고 할 때 행렬

을 A의 여인수 행렬(Matrix of Cofactors from A) 이라 하며

이 행렬의 전치 행렬을 A의 수반행렬 (Adjoint of A) 이라고 하며

라고 나타낸다.

cf) 전치행렬:

행렬 내의 원소를 대각선축 기준으로 서로 위치를 바꾼것, 즉 m*n 행렬의 전치행렬은 n*m 행렬이된다.

 

여기까지 왔으면 마침내 역행렬을 구하기위해 필요한 것들을 얻어내었다.

따라서 이제는

를 계산할수 있게되었다.

 

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